廉租房需要未婚证明吗【优秀20篇】

婴儿父、母双方的身份证原件(复印件及过期身份证均无效)、父母双方的户口本原件(集体户口和外地户口可带复印件)、生育服务证或结婚证(未婚者需婴儿父母写未婚申明)，另需带上出院通知单。

办理出生证明一般正常情况下(在家长有准生证，身份证，户口本)，在医院正规渠道出生的孩子可以直接在医院办理出生证明!如果是偷生，超生，非正规手续领养的孩子无出生证明则需要有一定的关系和经济实力也可以办理，不过出生日期一般只能填写办理出生证明一月以内的!熟人可以从入院证明开始办，有正规的门诊记录，住院记录，病历!也就是说这个孩子等于在医院出生的，办理的出生证明当然也是真的，可以在卫生局查!副作用就是院领导愿意为你冒风险，主管医生不怕负面责任，档案管-理-员.... 填表及办理出生证明须知如下：

1、填表要求：新生儿姓名一栏可空项其余项目均需如实填写不得空项。父、母亲姓名需与身份证明、住院病历上的姓名一致，否则不能办理出生证明。职业、单位可简写或写无。父、母双方户口地址需与户口本上(第一页)地址一致。婴儿户口随父、随母请画圈。

2、 在您的孩子出生后20天之内务必办理出生证明，请提前起好并确定婴儿的名字。

3、 需带证件如下：婴儿父、母双方的身份证原件(复印件及过期身份证均无效)、父母双方的户口本原件(集体户口和外地户口可带复印件)、生育服务证或结婚证(未婚者需婴儿父母写未婚申明)，另需带上出院通知单。

4、 根据国家相关法规规定证件不齐不能办理出生证明。

5、 办理出生证明需婴儿父母亲自办理。如婴儿父母不能亲自办理，委托他人代办需写一份委托书，并带齐双方证件。(婴儿父母只来一位办理即可)。出生证明打印好后婴儿姓名不能更改

申请办理出生公证的，应当到原户籍所在地的公证处办理。

您可以先到公证处领取出生调查表，再由户籍注销地的派出所根据原户籍档案的记载填写出生调查表并加盖公章，也可以由申请人的人事档案存档部门根据人事档案的记载填写出生调查表并加盖人事章，然后再持有效身份证件和出生调查表到公证处办理就可以了。

如果公证处没有出生调查表，或者您不便到公证处领取调查表，也可以由户籍注销地的派出所或人事档案的存档部门开具相关出生情况的证明信，证明信的内容应当包括当事人的姓名、性别、出生年月日、出生地、生父母姓名等。出具证明信的部门还需在证明信上盖章，派出所加盖公章，存档部门加盖人事章，然后再持有效身份证件和证明信到公证处办理就可以了。

需要说明的是，发往某些国家使用的出生公证书需要加贴当事人照片，例如美国、法国和哥伦比亚，因此如果您要去往这些国家的话，还要根据公证处的要求提供照片。

另外，出生公证并不需要您本人亲自办理，可以委托他人到公证处代办。

(法定代表人姓名)在我(单位名称)任(厂长，经理等)职务，使我(单位名称)的法定代表人。

特此证明。

_年_月_日

(公章)

附：法定代表人住址：

电话：

填写说明：

其他组织代表人的`身份证明书同上。

法定代表人身份证明书法定代表人身份证明书

______，在我公司担任______职务，为我公司法定代表人，特此证明。

单位全称：______(盖章)

______年______月______日

附：该代表人住址：___________________________

电话：___________________________

注：企业事业单位、机关、团体的主要负责人为本单位的法定代表人。

法定代表人身份证明书法定代表人身份证明书

1、申请人及配偶的身份证、结婚证、户口簿或有权机构出具的有效居留证件原件及复印件；

2、拟留学学校出具的入学录取通知书、接受证明信及其他有效入学证明资料及有关必需费用证明，同时提供本人学历证明资料；

3、提供具有完全民事行为能力的中国公民作为借款人的国内代理人，并提供其国内代理人的身份证、有关居住证明及通讯地址。

4、以财产抵押或质押的，应提供抵押物权属证明或质押物正本单据和有权处分人（包括财产共有人）同意抵押或质押的证明，必要时应提供有权部门出具的抵（质）押物估价证明；

5、若担保人为法人，应出具保证人同意担保的书面文件（担保人为法人的分支机构的，应同时出具法人授权担保文件）、企业法人营业执照、经审计的上年度和近期财务报表及有关资信证明材料；若担保人为自然人，应提供保证人的身份证、户口簿、收入或财产证明及其他资信证明；

6、贷款人要求提供的其他资料。

尊敬的各位领导：

你们好!

我是一名来自xxx县的一个小山村的`学生，现就读于咱们xx中学高三(1)班，综合自身实际情况，特向组织提出“优秀学生贫困补助”的申请，肯请学校可以核对并给予批准。

我家有六口人：爸爸、妈妈、弟弟和我。爸爸、妈妈还要照顾80多岁的爷爷奶奶。父母靠种地为生，并且父亲手有残疾不能干重体力劳动，家庭重活全靠母亲一人操劳。他们每天辛辛苦苦，可家庭收入微薄，为这样一个上有老下有小的家庭来说还是有困难的。爷爷奶奶年迈体弱，身体一直不怎么好。爷爷患有高血压，奶奶患有肺病，一直靠药物维持健康。弟弟上初中，每年的学费也不低，现如今我也成为了一名高三学生，使原本生活困难的家庭更是雪上加霜。

父母辛辛苦苦劳作，但每年开支那么大，支撑这个家庭确实很困难。看着父母为了我劳累，为了整个家操心，我却无能为力，心里真不是滋味，也不知道该怎么好，只有在心里默默的告诉自己一定要努力学习，不要辜负父母对自己的期望。每每看着他们面朝黄土背朝天的劳作着，我就只有自己把泪往心里流，希望自己可以早日帮父母减轻一些负担。

一直以来我就坚信“知识改变命运”我深知只要不断的完善自己，增长知识，才能改变家庭状况，所以在进校之前我就下定决心本着“一份耕耘一份收获”的信念，积极主动学习专业文化知识。成绩优秀，因为只有这样，我们才能摆脱贫困，否则，我们会一直贫困下去。贫困不是我们的绊脚石，相反踏实是我们的动力。

同时，我非常感谢我们学校和各位领导给予我们的帮助，我会在以后的日子里，更加严格要求自己，学好科学文化知识，争取早日服务社会，为国家奉献一份力量。

我能获得xx助学金，就能替家里分担一些感到很高兴，我想我现在能做的就是好好学习不辜负任何对我有期望的人，将来作一个对国家，对社会有用的人，尽自己所能来回报所有帮助过我的人，回报社会。

再次，真挚的感谢各位领导!

xxx

20xx年xx月xx日

篇一：单位工作证明范本

单位工作证明范本

工作证明

兹有我单位(同志)(身份证号:_____________________)在___________________部门,从事____________________工作已有___________年,特此证明.单位名称:__________________________

日 期:________________________

(加盖单位公章)

工作证明

xxx于200x年x月-x月在我单位工作，特此证明。

xxx电脑城

二〇〇x年x月x日

证明： xx,于xx年xx月xx日到我司xx公司任职，在我司xx部门，任xx职务 特此证明!xx公司(盖公章)xx年xx月xx日

工作证明--我的范文

工作证明兹有我单位(同志)(身份证号: 工作证明 xxx于200x年x月-x月在我单位工作，特此证明。

工作证明

________________：

兹证明________是我公司员工，在________部门任________职务。至今为止，一年以来总收入约为__________元。特此证明。本证明仅用于证明我公司员工的工作及在我公司的工资收入，不作为我公司对该员工任何形势的担保文件。盖 章：日 期：______年___月___日收入证明 兹证明我公司(xxxx公司)员工xxx在我司工作xx年，任职xx部门xx经理(职位)，每月总收入xxxxx.00元，为税后(或税前)薪金。xxxx公司...盖 章：

日 期：______年___月___日

__________先生/女士/小姐（身份证号为 ）自____________年_____月____日入职我公司担任人力资源部_________职务，至____________年_____月____日因 _________原因申请离职，在职期间无不良表现，经协商一致，已办理离职手续。

因未签订相关保密协议，遵从择业自由。

特此证明。

公司名称（加盖公章）___________________

__________年_____月____日

居住证明格式：________兹有_________长期居住在：_______市__________区_________路________街__________号_________小区_________号房屋所有权归___________所有房屋性质为：______公有租赁房屋_______私有租赁房屋_________私有产权房________单位优惠售房产权房_________。

特此证明!

派出所或居委会名称：_________________

经办人签字：___________

_______年______月______日

Statement of Employment and Income

Th  to certify that Ms. Zhijin Liu, born on June 12, 1958,  a staff member of our school. She  now in position of mathematic teacher. Her monthly income  RMB 3,600 yuan and annually income  RMB 43,200 yuan.

No. 76 Middle School, Tangshan City, Hebei Province, China Date:

在 职 及 收 入 证 明

兹证明刘志金，女，出生日期1958年7月12日，在我校担任数学教师，月薪为人民币3，

特此证明。

600元，年薪为人民币43，200元 河北省唐山市第七十六中学 单位（盖章） 年 月 日

兹有沈阳航空航天大学学校高维维同学于20xx年10月5日至今在沈阳成才教育培训学校实习。

该同学的实习岗位是物理老师及校长助理。实习内容是负责初三年级物理教学、学生家长沟通及协助校长完成部分管理工作。该学生在实习期间工作认真，脚踏实地，虚心请教并且努力掌握工作技能，善于思考,能够举一反三。协调能力强，积极配合领导及同事的工作，虚心听取他人意见。学习能力强，遇到不懂的问题能主动的向前辈请教，保质保量完成工作任务。该学生严格遵守我公司的各项规章制度，实习时间，非常爱护学生，服从学校安排，出色的完成任务，尊敬实习单位人员，并能与同事和睦相处。

此为本公司在实习结束后关于该学生在实习期间的综合表现的评价，供学校以及就业单位参考。

特此证明。

证明人：

20xx年x月x日

尊敬的学校领导：

我叫x,是x系x专业x班的学生，出生在一个贫穷而又落后的小山村。家中有四口人，父母文化浅薄，在家务农，由于多年的劳累，父母两人身体状况十分差，农业收入低微，所以全年收入十分微薄，还有一个弟弟正在x中学部读书，家中一年省吃俭用的钱大多都供给了我和弟弟读书。而我从小热爱美术，高中时在学校选择了美术专业。今年我圆满的完成了12年的学业，光荣的参加了高考。当我得到了x大学的录取通知书的时候，全家人都很高兴，但我毕竟是我那个家族里难能可贵的大学生，也是我们村子里多年以后才出的大学生。但是从事美术专业的院校学费都有那么高，对于农村的家庭来说真是一个天文数字。为此家中面临着巨大的学费压力，家中实在是拿不出足够的钱来送我上大学，可是我又不想因为贫困而丧失上大学的机会，我知道这个社会如果没有知识没有文化是无法生存下去的。所以我一定要完成我的学业。故申请有关部门证实学生的家庭情况，定于特困生类型，以便学生能在校获得各种补助及助学贷款，帮助学生顺利完成学业。

此致

敬礼！

申请人：x

x年x月x日

尊敬的领导：

具申请人xx系xx组村民，我家四口人。母亲八十多岁，头发苍白，全身多处慢性疼痛，无任何劳动能力，是一个完全依靠赡养的老人。妻子xx，生性忠厚，行动迟缓，本来就干不了多少体力活，维持不了自己的基本生活，可不幸偏偏降临在她的身上，xx年肝胆突发结石，做了大片切除手术，现在更是需要调养，需要照顾，可他还是不得不拖着孱弱的身体照顾家人，真担心他受不住。儿子xx读书不多，没有一技之长，又因车祸大腿骨折，不能从事重体力活，无技又无力，根本赚不到几个钱。本人年近花甲，身体瘦弱，劳动能力越来越差，已难以挑起全家人的生活重担。

故申请被评为农村家庭低保户。

敬礼!

申请人：xxx

xx年xx月xx日

甲方：(单位名称)______________________

乙方：(单位员工)____________________身份证号：____________________________

______________乙方原为甲方________(部门)的_______(职务)，于_________年____月____日经双方协商一致解除劳动合同。甲乙双方确认终止劳动关系。

___________________________双方现已就经济补偿金及劳动关系存续期间的所有问题达成一致，并已一次性结清。同时，甲方已为乙方办妥离职手续。

特此证明!

________________公司名称(加盖公章)

____________年_________月_______日

鲁山县国土资源局：

平顶山市利国源铁矿磁选有限责任公司鲁山县窑场铁矿为新建矿山，依据《土地复垦条例》（中华人民共和国国务院令第592号）及《河南省国土资源厅关于印发河南省土地复垦方案审查暂行办法的通知》（豫国土资发[20xx]第139号）的要求，我公司委托河南瑞地土地规划技术服务有限公司已完成《平顶山市利国源铁矿磁选有限责任公司鲁山县窑场铁矿土地复垦方案》及相关图件的编制。为保障该方案的落实，特承诺如下：

1、严格按照经评审备案的《矿产资源开发利用方案》进行生产建设，当生产项目性质、规模、地点或所采用的生产工艺发生较大变化时，重新编制《土地复垦方案》；

2、依据本《土地复垦方案》确定的复垦目标和任务，对本方案服务年限内拟损毁的土地全部采取措施进行复垦治理，复垦土地总面积24.68hm2。其中复垦旱地2.70hm2，复垦有林地9.56hm2，农村道路0.29hm2，河流水面11.28 hm2，水库水面0.85 hm2。

3、保证将本《土地复垦方案》确定的土地复垦费用动态投资总额1175822.09元列入生产成本，并且从20xx年开始分8期缴存，其中第一期缴存复垦资金146977.77元，缴存日期为20xx年1月10日之前；第二期缴存复垦资金146977.76元，缴存日期为20xx年1月10日之前；第三期缴存复垦资金146977.76元，缴存日期为20xx年1月10日之前；第四期缴存复垦资金146977.76元，缴存日期为20xx年1月10日之前；第五期缴存复垦资金146977.76元，缴存日期为20xx年1月10日之前；第六期缴存复垦资金146977.76元，缴存日期为20xx年1月10日之前；第七期缴存复垦资金146977.76元，缴存日期为20xx年1月10日之前；第八期缴存复垦资金146977.76元，缴存日期为20xx年1月10日之前，共计缴存1175822.09元。

4、因人力、设备、技术等条件限制不能按期自行实施土地复垦时，由鲁山县国土资源局代为复垦，所需费用从本公司缴存的土地复垦费用中支付。

5、严格按照本《土地复垦方案》制定复垦措施与复垦标准进行土地复垦，在工程实施中根据实际情况进行变更时，以不低于《方案》制定的标准为原则，以达到更好的复垦效果为目的。

6、建立健全土地复垦工程管理制度，保障土地复垦工程的顺利有效实施。

7、在矿山生产建设过程中做好防护措施，尽量减轻矿山生产建设对土地及其他生态环境的不利影响。

8、保证本《土地复垦方案》内容真实，并严格按本《土地复垦方案》确定的`复垦标准和复垦目标实施复垦。

9、当矿权发生转移时，复垦责任相应地转移到下一个矿权主体。

承诺人：平顶山市利国源铁矿磁选有限责任公司

________现任我单位________职务，为________主要负责人，特此证明。

附：主要负责人：

性别：年龄：民族：住址联系电话：

邮政编码：

(单位全称，加盖印章)

____年____月____日

法人代表身份证明书

，系我公司（*有限公司），担任，为我单位法定代表人。特此证明。

单位全称（盖章）：

年 月日

地址：

邮政编码：

（注：企事业单位、机关、团体的主要负责人为本单位的法定代表人）

（身份证复印件附后）

授 权 委 托 书

*项目部：

现委托（身份证号：）为我单位代理人到你单位（*项目）办理工程施工的一切事宜。

代理人的代理权限为一切事宜。

代理期间为20xx年6月1日至20xx年6月1日。

法定代表人：（签名或盖章）

日期： 年 月 日

代理人： 身份证件号码： 联 系 电 话：

（代理权限或代理期间发生变更的，委托单位应及时书面告知岳阳中航翡翠湾项目部）

（身份证复印件附后）

尊敬的领导：

您们好！我是申请人xxx，生于20xx年xx月，民族汉，职业为农民，现居住于河北省cf村。我家现在有五口人，我和四个孩子，丈夫早逝。我因患有风湿性关节炎有四五年，不能劳动，只能在床上躺着。治疗费已花费将近十万元还没有见好。我家的三儿子今年也面临高考上大学，小女儿因在家照顾我已经辍学。大儿子和二儿子也在家务农，偶尔打打零工，工资也很低，根本不能支付起医疗费和学费。

对于我们这样的普通家庭来说，这些费用就是个天文数。通常东拼西凑向亲戚借来借去，加上两个儿子的辛勤劳动，勉强能过日子。但是随着时间的推移，渐渐的发现已经向亲戚朋友只借不还了。再张口已经没人愿意帮忙了。在我一愁莫展之时，不幸的我我看到了幸福的希望。赶上“以人为本”的协调的社会形态，党的恩惠如同阳光一样照耀着大地，惠民政策似甘泉一样滋润着弱势群体，给予了弱势群体以最大的生活保障。我经过几番斟酌，我家为农村低保户，我特向您们申请低保，希望获得政府的补助。以此来度我家现在在经济上的困难境地，帮助我早日康复，帮助孩子能完成学业。

敬礼！

申请人：xxx

申请日期：xxx

兹有我辖区居住居民，，性别，X，身份证号：，和，性别，X，身份证号：，与X年XX月XX日结婚，截至今日，未违反计划生育相关政策，未生育、未抱养小孩，特此证明。证明

兹有我单位正式员工，性别，民族，身份证号：该员工尚未结婚，也未生育或收养过子女，特此证明。

（单位章）

附：初婚初育证明办理流程

可以到其户口所在地居委会开具此证明。如果不在户口在地居住，当地居委会无法了解其婚育情况，需要你所在单位开具初婚初育证明信，并带着有关证件，来户口所在地居委会办理。

1、户口簿首页及个人页复印件，男方户口簿原件，男方身份证、结婚证原件及复印件。（备注：挂靠人才中心集体户的个人，只能拿到集体户口簿首页复印件，加盖人才中心公章即有效）

2、单位开具的婚育证明（内容：证明 某男 出生日期 身份证号 于某年某月某日与某人登记结婚，属于初婚未育未抱养。特此证明。）需盖单位公章

3、人才中心开具的。婚育证明（内容与公司出具的差不多，人才中心有统一格式），加盖人才中心公章。

4、带上以上资料交给社区居委会，换取一张加盖社区居委会出具的婚育证明，然后拿到所在街道计生办加盖员当街道计生办的公章。

兹有X大学 X级 专业 X同学，于X年X月X日至X年X月XX日，在X公司X部实习。

该学生实习期间工作认真仔细，在工作中遇到不懂的地方，能够虚心向富有经验的前辈请教、善于思考。对于别人提出的工作建议，能够虚心听取，能够将所学的知识灵活应用到具体工作中去，保质保量完成工作任务。

实习期间，该学生严格遵守我公司的各项规章制度、服从管理、尊敬实习单位人员，并能与公司同事和睦相处，工程技术部的员工对该学生的表现都予以肯定。

特此证明

X公司

X部

X年X月X日

一、具体格式

1、标题：书写“实习证明”或是“证明”。标题一般顶行居中，字体稍微大号，区别于内容;

2、正文：正文简要介绍该同学在本单位的实习基本情况，包括：实习时间、职位、实习的表现(简单的证明材料此项省略)等。

3、落款：落款主要包含实习单位名称、单位联系电话、日期、单位公章。

二、 实习证明意义

1、帮助求职。在求职的过程中我们会发现，在校期间有丰富实习经历的同学往往更容易求得心仪的工作。实习证明和学历一样，就像是一块敲门砖，可以帮助求职者获得企业更多的关注。由于简历上的实习经历可以捏造，如果能附上一张名企开具的实习证明函，一定能为求职者博得HR更多的好感，在一定程度上会增加录用的几率。而实习证明上如果能有一些实习期间上司对其实习工作的评价则更佳。

2、获得学分。大学一般以学分来计算学生毕业资格，修满一定学分才能毕业。而这些学分中，除了文化课以外，还包含了实践学分、实习学分等非文化课内容。按照规定，高校要求学生在校期间完成一定时长的实习才能获得实习学分，而学校判定的依据则是单位开具的实习证明。

3、毕业实习是我们大学学习阶段重要的实践性教学环节之一，是理论与实践相结合的重要方式，是提高学生政治思想水平、业务素质和动手能力的重要环节，对培养坚持四项基本原则，有理想、有道德、有文化、有纪律的德才兼备的技能性、应用性人才有着十分重要的意义。通过深入基层单位，了解当前茶产业发展现状，可加深理解并巩固所学专业知识，进一步提高认识问题、分析问题、解决问题的能力，为今后走向社会，自主创业做好思想准备和业务准备。

总而言之，实习证明是从理论学习到实际应用的一条纽带的证明，对我们综合能力的培养，使得我们既能掌握专业的基本理论和基本知识，又能具有对于所学知识的运用能力以及独立工作的能力，为我们在毕业后，能顺利的走上工作岗位打下良好的基础。我们在单位实习后都可以要求单位开具实习证明，并盖上公章，作为自己工作的经历，完善自身的简历。

________：

兹有__________长期居住在：________市___________区___________路____________街____________院__________号____________小区____________园___________楼_______门_________号房屋所有权归___________所有房屋性质为：公有租赁房屋__________私有租赁房屋__________私有产权房_________单位优惠售房产权房_________。

特此证明

居委会：______________

________年_____月_____日

条特殊的路径来求此极限)．

(3)若当(x，y)沿着两条不同路径趋于(x0，y0)，f(x，y)趋于不同值时，则可断定当(x，y)→(x0，y0)时，f(x，y)的极限不存在(此法可用来判

断极限不存在)．

问题6 何谓偏导数?怎样求偏导数? 答 多元函数的偏导数，就是只有一个自变量变化(其它自变量看成是常数)时，函数的变化率因此，求多元函数的偏导数就相当于求一元函数的导数.一元函数的导数公式和求导的四则运算法则对于求多元

函数的偏导数完全适用.偏导数的求法： 1当二元函数为分段函数时，求在分段点或分段线上的点(x0，y0)处

的偏导数时，要根据偏导数的定义来求即

2。求多元初等函数偏导数时．可将多元函数视为一元函数，即将不对其求偏导数的那些变量统统看成常量，利用一元函数的求导公式和求导法则求出偏导数.值得指出，多元函数的偏导数记号与一元函数的导数记号不同．偏导数记号、是一个整体，不能分开不能看

成z与x之商，记号z与x本身没有意义.而一元函数的导数记号如，可看成两个微分dz与dx之商.思考题5 如果函数z=f(x,y)在(x0，y0)点偏导数存在，试问z=f(x，y)在(x0，y0)点一定连续吗? 分析 不一定二元函数的连续性与可导性(即一阶偏导数都存在)．两者没有必然联系.这与一元函数可导必连续是不同的为什么偏导数存在而函数可以不连续呢?这是因为f(x，y)在点m0(x0，y0)存在关于x的偏导数fx(x0，y0)，只能得到一元函数z=f(x，y0)在点x= x0处连续.同样，由fy(x0，y0)存在，只能得到一元函数z=f(x0，y)在点y=y0处连续事实上，偏导数fx(x0，y0)与fy(x0，y0)的存在，只反映了f(x，y)沿平行于x轴与平行于y轴两个特殊方向在m0(x0，y0)处的变化率，它们的存在只能保证点m(x，y)沿x轴与沿y轴方向趋于点m0时，函数值f(x，y)趋于f(x0，y0)，但这不能保证点m以任何方式趋于点m0时．函数值f(x，y)都趋于f(x0，y0).所以，函数f(x，y)在点(x0，y0)偏导数存在，不能保证f(x，y)在点f(x，y)一定

思考题7 二元函数f(x，y)在一点处极限存在、连续、偏导数存在可微以及偏导数连续等诸条件之间有何相

互关系? 分析 二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处，上述诸条件之间关系可以用箭头表示：

其中记号“a→b”，表示“a可以推出b”，两个条件之间没有箭头表示，则表示两条件间没有必然联系，上

式的箭头方向是不可逆的.二元函数与一元函数诸条件之间的相互关系有相似之处．但又有一些明显不同如一元函数f(x)在x0点有： 可微可导→连续→有极限.篇二：高数读书笔记

马燕妮 四川农业大学经济学院 高 等 数 学 读 书 笔 记

——定积分与不定积分经济学 中国成都 611130 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。

【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分 【abstract】

【key words】definite integral；indefinite integral；area；differentiation spanision integral method；integral method in yuan；the indefinite integral rational function

一、不定积分与定积分的定义

（一）、定积分的定义：

设f是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割t={ ?1,?2???n}，任取点

?i??i,i?1,2,?，n,并作和式?f(x)?xi称此和式为函数f在[a,b]上的一个积分和，也

i?1 n 称黎曼和。

设f是定义在[a,b]上的一个函数，j是一个确定的实数。若对任给的正数?，总存在某一正数?，使得对[a,b]的任何分割t，以及在其上任意选取的点集{ ?i}，只要||t||

?f(x)?xi?j??,则成函数f在区间[a,b]上可积；数j称为f在[a,b]上的定积分

i?1 n 记作j= ? b a f(x)dx其中，f称为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b分别

称为这个定积分的下限和上限。

（二）、不定积分的定义

函数f(x)在区间i的所有的原函数f ?x??c??c?r?称为函数f(x)的不定积分，dx?f(x)?cf(x)?f(x)（，c为积分常数）, 表为f(x)? 其中∫称为积分符号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，c称为积分常数。

在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如：

?1122???at?atatdt?at?c；，而?2??2??

?sinx?

?cosx,而?cosxdx?sinx?c；

?13?1322 ??x?xxdx?x?c.而?3??3?? d dx ??f(x)?是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后

所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。

0dx?csinaxdx??cosax?c(a?0)??a ?dx?x?c x ?x ? dx? x ??1 ??1 ?c(???1,x?0)1 ?x?lnx?c ?edx?e?csc，这也就是说： 和?f(x)dx者是无穷多个函数，二、基本积分 2 ?c ?adx?lna?c(a?0,a?1)x x ?secx?tanx?secx?c dx??cotx?c ?cosaxdx? dx?x 2 sinax ?c(a?0)x 2sec?xdx?tanx?c ?cscx?cotxdx??cscx?c? ?arcsinx?c??arccosx?c dx ?1?x2?arctanx?c??arccotx?c 积分的性质

质

1积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且

? b b a kf(x)dx?k?f(x)dx a 2[a,b]z上可积，则f±在[a,b]上也可积，且 ? b a [f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx a

三、定积分与不定

（一）、定积分的性若f在[a,b]上可若f、g都在 a bb 3若f、g都在[a,b]上可积，则f*g在[a,b]上也可积.4 f在[a,b]上可积的充要条件是：任给c∈（a,b）,f在[a,c]与[c,b]上都可积。此时又有等式 ? b a f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx a c cb 5.的可积函数.若f(x)≥0,x∈[a,b],则

? b a f(x)dx?0.上的两个可积函数，且f(x)≤g(x),x∈[a,b],则有

? b a f(x)dx??g(x)dx a b 6.可积，则|f|在[a,b]上也可积，且

? b a f(x)dx??f(x)a b

续，则至少存在一点??[a,b],使得

? b a f(x)dx?f(?)(b?a).设f为[a,b]上若f与g为[a,b]若f在[a,b]上积分中值定理： 若f在[a,b]上连（推广的积分第一中值定理）若f与g都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点??[a,b],使得

（二）、不定积分的性质

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数发f（x）及

g（x）的原函数存在，则

2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数f（x）的原函数存在，k非零常数，三、定积分与不等积分的计算方法 1.分项积分法

则 ? b a f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx a b 我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：f(x)?k(x)+k)1g12g2(x ? b a f(x)dx，若右端的积分会求，则应用法则?f(x)dx?k1?g1(x)dx+k2?g2(x)dx,其

a a a bbb 中k1，k2是不全为零的任意常数，就可求出积分，这就是分项积分法.? 例1计算定积分 4 12 1.x4(1?x2)解 利用加减一项进行拆项得

? = 412 ???2222 1(1?x)?x1(1?x)?x =144dx=144?142 4222 x(1?x)x(1?x)xx(1?x)222? ?? 111144 ??+=dx12x2121?x2 3x3x4 ? 412 412 1+x ?412 +arctanx ?412.=? 64415??arctan?.3 3??23 2.分段积分法

分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2计算定积分 ?1?(x?1)min,cosx??dx.??2 ?2? 2 ? ? 解

由于min?,cosx?为偶函数，在?0, ? ?1 ?2?? 上的分界点为，所以 ?32?? ?1? xmin,cosx??dx ???2 ?2? 2 ? 1?1???22 =+2min,cosx(x?1)min,cosxdx??dx??20 ?2??2? ? ? ?1 =0?2(?3?

?2cosxdx)=?2?0233 ? 3.换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型： 篇三：《高等数学》读书笔记

类型课程学习名称： 高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文

掌握

黑色 增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次的说明内容的意思

步骤：1 填写结构

对照课程阅读，理解弄懂

合上课程，看书记住没 篇四：数学读书笔记

数学读书笔记

暑假读了黄先明的《高中数学学习方法》。

首先，他告诉我们高中数学学习要注意以下三点。一）、课内重视听讲，课后及时复习。重视课内的学习效率，要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。二）、适当多做题，养成良好的解题习惯。从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集。三）、调整心态，正确对待考试。首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开。

其次，他将初中数学与高中数学进行了比较。

1、知识差异。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善。

2、学习方法的差异。现在高考数学考察，旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。

3、学生自学能力的差异。高中的知识面广，知识全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学生失去一类型习题的解法。

最重要的，是告诉了我们如何建立好的学习数学兴趣。

（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。

（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。

（3）思考问题注意归纳，挖掘学习的潜力。

（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？

（5）把概念回归自然。

总结起来，高中数学学习就是要：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。篇五：数学读书笔记

《小学数学教学论》读书笔记

注重学生在数学课堂中情感态度的培养

学习了著名数学教育专家李光树老师的《小学数学教学论》第一章《小学数学的教学思想》，我颇有感悟，现浅谈一下自己的一点心得体会。

在数学课堂教学中，既需要注重学生知识、能力和培养，又要注重学生情感态度的培养。应该说，情感态度的培养比知识能力的培养更重要。小学数学课程标准中明确提出：“培养孩子积极思考的态度，使孩子在学习过程中增强学习数学的信心，培养孩子学习数学的兴趣。”我从这几句浅显的话语中悟出了许多深刻的道理。

现代社会是一个知识经济爆炸的年代，社会对孩子的需求也越来越高，作为新一代的教师，我们不仅要培养出成绩优异的孩子，而且要培养出具有自信心的良好心态的孩子。因为实践证明，良好的心态是成功的第一保障，现代儿童的心理问题已经给我们的教育提出了许多严峻的课题。因此，我认为数学课堂上也要注重学生情感态度的培养。

在这个问题上，我认为可以从以下三个方面重点培养，主要是积极主动的参与意识；学习数学的自信心；学习数学的兴趣。仔细思考了一下这三个方面应该是互相联系、辨证统一的。有了积极主动的参与意识，自信心就慢慢培养了起来，有了学习数学的自信心就有了学习数学的兴趣，如何培养孩子这些方面的情感态度。

首先，在课堂上要充分体现以学生为主体，真正体现学生是学习的主人，创设民主、和谐的课堂氛围。在课堂上，教师不能以传统填鸭式的方式教学，要让学生通过操作、实验、交流、讨论等活动，自己经历知识的形成过程，自己总结出结论，充分体现学生自主学习、自主探索，这样慢慢的培养起学生的自主参与意识。

其次，要多给孩子鼓励，多给孩子信心，任何孩子在成长中都会犯这样、那样的错误，在数学学习中也难免如此。这时，老师不要一味地批评，因为过度地批评会让孩子失去信心，会让孩子缺乏思考的勇气，久而久之就会使孩子只学会接受，没有自己的思考和思想，更谈不上学习的自信心和兴趣了。所以，我们在教学中应该多以鼓励为主，多给孩子一些信心，相信你的学生是最棒的。

最后，我认为除了在思想、情感上多以积极的心态培养孩子外，还应该给孩子们创设学习数学的良好氛围，让孩子们在一个喜欢数学的环境中学习，受到熏染，培养孩子的兴趣。

自信心是成功的第一步阶梯，作为一个教师，有义务也有责任为这一步阶梯奠基，要让学校成为培养孩子自信心的摇篮，不要让孩子的自信心被扼杀在了摇篮里。

我要努力让自己的每节课既要注重学生知识能力的培养，又要注重情感态度的培养。

为我公司(单位)职员，自 年起在我公司(单位)工作，年收入约为RMB 万元。

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